Отримання знань

Лінійні рівняння з однією змінною

Рівняння- рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою. Невідоме число називають змінною.

Наприклад: .

Вираз, записаний у рівнянні ліворуч від знака рівності, називають лівою частиною рівняння, а вираз, записаний праворуч, - правою частиною рівняння.

Число, яке задовольняє рівняння, називається коренем, або розв'язком рівняння. Якщо у рівнянні   замість змінної  підставити 3, то отримаємо  - правильну числову рівність.

Рівняння можуть мати різну кількість коренів. Розв'язати рівняння - означає знайти всі його корені  або довести, що їх немає.

Якщо рівняння мають одні й ті самі корені, то вони називаються рівносильними. Рівносильними вважають і ті рівняння, які не мають коренів.

Під час розв'язування рівняння використовують такі властивості:

1. якщо у будь-якій частині рівняння розкрити дужки або звести подібні доданки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;
2. якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;
3. якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме, відмінне від нуля, число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Рівняння виду , де  і  - деякі числа,  - змінна, називається лінійним рівняння з однією змінною.

Можливі такі розв'язки лінійного рівняння:

	- будь яке число	Рівняння не має коренів

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння:

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:

                             .

1) Розкриємо дужки:

                             .

2) Перенесемо доданки, що містять змінну , у ліву частину, а інші - в праву, змінивши знаки на протилежні:

                             .

3) Зведемо подібні доданки:

                             .

4) Розв'яжемо отримане лінійне рівняння:

Відповідь. -7,5.

Приклад 3. Розв'яжіть  рівняння:

Розв'язання

1) Щоб позбутися знаменників, помножимо обидві частини рівняння на НСК чисел 6 і 2, тобто на 6.

Маємо: 

2) Далі розв'язується так само, як і в прикладі 2.

                                                     .

Відповідь: .

Приклад 4. Розв'яжіть  рівняння:

Рівняння з параметрами

Якщо в рівнянні       - змінна, а буква   позначає якесь число, то кажуть, що це рівняння з параметром.

Щоб розв'язати таке рівняння, треба розглянути такі випадки:

а) При   отримуємо рівняння :

    Маємо два випадки:

              1) при коренем  буде будь-яке число;

              2) при    рівняння коренів не має.

б) При   ділимо обидві частини рівняння на   ( яке не дорівнює нулю) і отримуємо .

Рівняння з параметрами можна розв'язувати так само, як звичайні рівняння, але тільки до тих пір, поки кожне потрібне перетворення можна виконати однозначно. Якщо ж якесь перетворення не можна виконати однозначно, то розв'язання потрібно розбити на декілька випадків.

Приклад. Розв'яжіть рівняння  , де  -змінна.

Розв'язання

Перенесемо члени із змінною  в одну частину, а без  - в іншу:

.

Зведемо подібні доданки:

.

Для знаходження змінної  ми б хотіли поділити обидві частини рівняння на , але при  ми будемо ділити на 0, що неможливо. Отже, починаючи з   цього моменту, потрібно розглядати два випадки.

Можна записати так:

Розв'язання

Відповідь:

• 1) при  - будь-яке число;
• 2) при .

ТРЕНУВАЛЬНІ ВПРАВИ

Розв'яжіть рівняння зі змінною :

1. а)	б)
2. а)	б)
3. а)	б)

Розв'яжіть рівняння:

1)  

2) 

3) 

4)  

5)  

6) 

7) 

8) 

9) 

Фото взято з фотогалереї:  http://www.uza.uz/photo/silkroad/khiva/photos/5.html