Отримання знань

  Степінь з натуральним показником

 

Добуток кількох однакових множників можна записати у вигляді виразу, який називають степенем.

Наприклад: .

Множник, який повторюється, називають основою степеня, а число яке показує кількість таких множників, - показником степеня. У виразі  число 3 -основа степеня, а число 6 - показник степеня.

Степенем числа  з натуральним показником називається добуток  множників, кожний з яких дорівнює . Степенем числа  з показником 1 називають саме це число.

 

Другий степінь числа  називають ще квадратом числа  , а третій степінь числа  називають кубом числа . Квадрат числа використовували для обчислення площ, а куб числа - для обчислення об'ємів ще у стародавні часи.

Знаходження значення степеня називають піднесенням до степеня.

Виконаємо піднесення до степеня:

1) 

2)

3) 

4) 

Степінь від'ємного числа з парним показником є додатним числом (як добуток парної кількості від'ємних множників); степінь від'ємного числа з непарним показником є від'ємним числом(як добуток непарної кількості від'ємних множників).

ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ

1)  Для будь -якого числа  й довільних натуральних чисел  і  виконується рівність:

Доведення

.

Рівність  називають основною властивістю степеня.

Приклад 1.

2)  Для будь - якого числа  і довільних натуральних чисел  і , таких, що , виконується рівність:

Доведення

Оскільки  , тобто , тоді за означенням частки маємо .

Приклад 2.

3)  Для будь-якого числа  й довільних натуральних чисел  і  виконується рівність:

Доведення

Приклад 3.

4)  Для будь-яких чисел   і    й довільного натурального числа   виконується рівність:

Доведення

Доведена властивість степеня поширюється на степінь трьох і більше множників:

.

Приклад 4.

Ліву і праву частини розглянутих тотожностей можна міняти місцями:

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ВПРАВ

1)  Обчисліть: .

Розв'язання

.

2)  Знайдіть значення виразу  при .

Розв'язання

Якщо , то  .

3)  Обчисліть:

а) ;

б) .

Розв'язання

а) 

використовуємо формулу

б)  

попередньо враховуємо, що

4)  Обчисліть:

Розв'язання

Враховуємо, що  і виконуємо дії над степенями з однією основою 3.