Отримання знань

дистанційна підтримка освіти школярів

РУХ ТІЛА У ПОЛІ СИЛИ ТЯЖІННЯ

Задача № 1

Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з початковою швидкістю 10 м/с. Коли тіло досягло максимальної висоти, з тієї ж точки земної поверхні в тому ж напрямку з такою ж початковою швидкістю кинули друге тіло. Знайдіть через який час, після початку руху другого тіла, обидва тіла зустрінуться? Знайдіть на якій висоті це відбудеться?

Розв’язання:

Дано:
=
=10 м/с
g=9,8 м/с²
t₂-?
h -?

1) Побудуємо схему руху, пов’язавши систему відліку з землею. На рисунку 1 та 2 зображена траєкторії руху тіл.
2) Розглянемо спочатку рух першого тіла до максимальної висоти підняття. Потім розглянемо рух першого тіла з максимальної висоти та рух другого тіла з поверхні землі до моменту зустрічі.

3) Для полегшення розв’язку задачі вважатимемо, що вісь координат ОY напрямлена вертикально вниз, перпендикулярно до поверхні землі, та в момент час t₀=0 тіло знаходилось, на поверхні землі. Точку початку координат оберемо на поверхні землі в точці з координатою y₀₁=y₀₂. На схемі руху позначимо початкову та кінцеву координати, вектори початкової, кінцевої швидкості та прискорення на кожній ділянці для обох тіл (рис 1).

рис1

рис2

4) Спроектуємо зазначені вектори на вісь (рис 2).

5) Для знаходження шуканих величин запишемо рівняння руху та швидкості для руху кожного з тіл в проекціях на обрану вісь ОY .

I. РОЗГЛЯНЕМО РУХ ТІЛА 1 ВІД МОЕНТУ КИДАННЯ ДО МОМЕНТУ ДОСЯГЕННЯ НАЙВИЩОЇ ТОЧКИ ТРАЄКТОРІЇ.

Запишемо рівняння руху для першої ділянки в проекціях на вісь OY в загальному вигляді:

де - час підйому тіла 1 до максимальної висоти;

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого конкретного випадку:

Підставимо відповідні значення в рівняння руху:

помножимо обидві частини рівняння на (-1)

(1)

Рівняння швидкості для підйому першого тіла в проекціях на вісь OY має вигляд:

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого випадку руху:

Підставимо відповідні значення в рівняння швидкості:

(2)

Отримали систему рівнянь з двома невідомими Н та t₁:

6) Розв’яжемо отриману систему рівнянь відносно шуканих невідомих:

З рівняння (2) знайдемо час руху:

(3)

Підставивши (3) в (1):

(4)

IІ. РОЗГЛЯНЕМО РУХ ТІЛА 1 ТА ТІЛА 2 ДО МОМЕНТУ ЗУСТРІЧІ НА ВИСОТІ h.

Запишемо рівняння руху для першого тіла (від моменту руху з максимальної висоти Н до моменту зустрічі з тілом 2) в проекціях на вісь OY в загальному вигляді:

де - час який мине від початку руху тіла 2 до зустрічі з тілом 1;

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого конкретного випадку:

Підставимо відповідні значення в рівняння руху:

помножимо обидві частини рівняння на (-1)

(5)

Запишемо рівняння руху для другого тіла (від моменту початку руху до моменту зустрічі з тілом 1) в проекціях на вісь OY в загальному вигляді:

де - час який мине від початку руху тіла 2 до зустрічі з тілом 1;

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого конкретного випадку:

Підставимо відповідні значення в рівняння руху:

помножимо обидві частини рівняння на (-1)

(6)

Отримали систему рівнянь:

Розв’яжемо систему, прирівнявши рівняння (5) та (6):

(7)

В рівняння (7) підставимо знайдене нами попередньо значення H (4):

Скоротивши на знайдемо час зустрічі , який мину від початку руху тіла 2:

(*8)

Щоб знайти висоту, на якій відбудеться зустріч тіл, підставимо (*8) у рівняння (5) чи (6). Наприклад (6):

(*9)

Перевірка розмінностей:

Виконаємо обчислення:

Відповідь: ; від початку руху тіла 2.

Задача № 2

Два тіла починають рух з однієї точки. Одне тіло кидають вертикально вгору з початковою швидкістю 20 м/с, а інше рухається вздовж поверхні землі рівноприскорено без початкової швидкості з прискоренням 5 м/с². Знайдіть відстань між тілами через 2 с від початку їх руху.

Розв’язання:

Дано:

=10 м/с

а = 5 м/с²

g=9,8 м/с²

t = 2 с

s -?

1) Побудуємо схему руху, пов’язавши систему відліку з землею. На рисунку 1 та 2 зображена траєкторії руху тіл.

2) Розглянемо спочатку рівносповільнений рух першого тіла вертикально вгору та рівноприскорений рух другого тіла, яке рухається вздовж горизонтальної вісі.

3) Для полегшення розв’язку задачі вважатимемо, що вісь координат ОY напрямлена вертикально вниз, а вісь OX – горизонтальна і направлена вздовж руху тіла 2, та в момент час t₀=0 обидва тіла знаходились в точці перетину осей, тобто в початку координат.

На схемі руху позначимо початкову та кінцеву координати, вектори початкової, кінцевої швидкості та прискорення кожного з тіл (рис 1). Припустимо, що швидкість першого тіла в момент часу t = 2 с напрямлена вертикально вгору та дорівнює .

рис1

рис2

4) Спроектуємо зазначені вектори на вісь (рис 2).

5) Для знаходження відстані між тілами через 2 с запишемо рівняння руху для кожного з тіл.

Запишемо рівняння руху для тіла 1, яке рухається вздовж вертикальної осі, в проекціях на вісь OY в загальному вигляді. Нехай в момент часу t = 2 с тіло 1 знаходиться в точці А:

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого конкретного випадку:

Підставимо відповідні значення в рівняння руху:

помножимо обидві частини рівняння на (-1)

(1)

Запишемо рівняння руху для тіла 2, яке рухається вздовж горизонтальної, осі в проекціях на вісь OХ в загальному вигляді. Нехай в момент часу t = 2 с тіло 2 знаходиться в точці В:

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого конкретного випадку:

Підставимо відповідні значення в рівняння руху:

(2)

З рисунка 2 слідує, що відстань між талами в момент часу дорівнює довжині відрізка АВ. Утворений трикутник є прямокутним, оскільки осі координат взаємо перпендикулярні, то гіпотенузу АВ можна знайти за теоремою Піфагора:

(3)

Підставивши в рівняння (3) значення довжин відповідних відрізків з рівнянь (1) та (2) отримаємо:

(*)

Перевірка розмінностей:

Виконаємо обчислення:

Відповідь:

Задача № 3

Тіло, кинуте вертикально вгору, проходить за першу секунду третину максимальної висоти підйому h. Який шлях проходить тіло за останню секунду паління.

Розв’язання:

Дано:

L-?

1) Побудуємо схему руху, пов’язавши систему відліку з землею.

2) Оскільки даний рух є рівно змінним та ПРИСКОРЕННЯ НЕ ЗМІНЮЄ СВОГО НАПРЯМУ ТА ВЕЛИЧИНИ ПІД ЧАС РУХУ, то для описання руху достатньо скласти одне рівняння руху. Але, щоб дати відповідь на запитання задачі розіб’ємо даний рух на три ділянки6

1. Рух за першу секунду вад точки А до точки В;

2. Рух за t секунд, де t – час від моменту кидання тіла до моменту його падіння на землю від точки А до точки D;

3. Рух тіла за час секунд, де (тобто рух тіла за секунду) від точки А до точки С;

3) Для полегшення розв’язку задачі вважатимемо, що вісь координат ОY напрямлена вздовж руху тіла вертикально вниз, перпендикулярно до поверхні землі, та в момент час t=0 тіло знаходилось в початку координат, на поверхні землі.

3) Складемо схему руху тіла за першу секунду, за весь час руху t та за час секунди ()на одному рисунку. На схемі руху позначимо початкову та кінцеву координати, вектори початкової, кінцевої швидкості та прискорення руху, яке дорівнюватиме g (рис 1).

рис1

рис2

4) Спроектуємо зазначені вектори на вісь (рис 2).

5) Для знаходження шуканих величин запишемо рівняння руху та швидкості для даного руху в проекціях на обрану вісь ОY. Врахуємо, що рух відбувається з постійним прискоренням – прискоренням вільного падіння g:

I. Рівняння руху для першу секунду польоту вгору , від точки А до точки В:

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого конкретного випадку:

Підставимо відповідні значення в рівняння руху:

помножимо обидві частини рівняння на (-1)

(1)

IІ. Рівняння руху від моменту кидання тіла до моменту його падіння на землю (час ), від точки А до точки D:

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого конкретного випадку:

Підставимо відповідні значення в рівняння руху:

помножимо обидві частини рівняння на (-1)

(2)

IІ. Рівняння руху від моменту кидання тіла за час , від точки А до точки С:

Рівняння руху, від моменту початку руху, для секунди падіння ():

Визначимо, чому дорівнюють відповідні коефіцієнти в рівнянні для нашого конкретного випадку:

Підставимо відповідні значення в рівняння руху:

помножимо обидві частини рівняння на (-1)

(3)

З рівнянь (1), (2) та (3) складемо систему рівнянь:

Розв’яжемо цю систему та знайдемо . З рівняння (2) знайдемо початкову швидкість тіла:

Скоротимо на величину часу :

(4)

Підставимо (4) в рівняння (1) та (3):

З рівнянь (5) та (6) виразимо час руху тіла від точки А до точки D:

Помножимо обидві частини рівняння на 6:

(7)

Розкриємо дужки:

(8)

Прирівняємо формули (7) та (8):

З останнього рівняння знайдемо шлях L, який проходить тіло за останню секунду:

(9)

Якщо врахувати, що і підставити це в останнє рівняння, то рівняння (6) можна спростити:

(*)

Відповідь:

Увага!!! При записі дійсних чисел цілу частину числа від дробової відділяйте комою «,». Наприклад: 12,3.

При обчисленні прийняти g=10м/с²

1. Тіло кинуте вертикально вгору з поверхні землі, впало на землю через 4 с від початку руху. Визначте шлях каменя, пройдений ним за 3 с від моменту кидання. Відповідь подайте в метрах

2. Два тіла починають рух з однієї точки. Одне тіло кидають вертикально вгору з початковою швидкістю 20 м/с, а інше рухається вздовж поверхні землі рівносповільнено з початковою швидкістю 20 м/с прискоренням 2 м/с². Знайдіть відстань між тілами через 2 с від початку їх руху. Відповідь подайте в метрах та округліть до десятих

3. Тіло кинули з поверхні землі вертикально вгору з початковою швидкістю 20 м/с. Коли тіло другий раз перебувало на висоті 10 м, з тієї ж точки земної поверхні в тому ж напрямку з такою ж початковою швидкістю кинули друге тіло. Знайдіть через який час, після початку руху другого тіла, обидва тіла зустрінуться? Відповідь подайте в секундах та округліть до десятих

4. Тіло, кинуте вертикально вгору з поверхні землі, проходить за першу секунду половину максимальної висоти підйому h=40 м. Який шлях проходить тіло за останню секунду падіння, перед ударом об землю. Відповідь подайте в метрах

5. З гелікоптеру, який рівномірно піднімається вертикально вгору з швидкістю 1,5 м/с кидають без початкової швидкості відносно гелікоптера вантаж із поштою. Знайдіть відстань між гелікоптером та вантажем через 4 с від моменту кидання. Відповідь подайте в метрах і запишіть з точністю до сотих

Закінчити урок

Робочий зошит

В системі: гості - (1); користувачі - (0)