Отримання знань

дистанційна підтримка освіти школярів

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів

На попередньому уроці ми вже з’ясували природу виникнення тиску газу. Але це було лише, так би мовити, якісне пояснення. Мета цього уроку – знайти залежність між величинами, які описують рух молекул газу та його тиском. Тиск, як відомо – це сила, що діє на одиницю площі поверхні. Отже, знаючи площу поверхні, наприклад, стінки посудини, нам залишиться лише обчислити силу, з якою діє молекула під час удару.

Розглянемо удар однієї окремої молекули о стінку посудини.

Газ у посудині – ідеальний. Отже, удари молекул є абсолютно пружними. Очевидно, що змінюється лише складова швидкості, перпендикулярна до стінки. При чому вона лише змінює свій напрям на протилежній, залишаючись за модулем сталою. А там де є зміна швидкості, є і зміна імпульсу. А це в свою чергу призводить до імпульсу сили, тобто добутку сили на час її дії:

Звичайно, тривалість удару однієї молекули дуже мала. Але, якщо врахувати, що одночасно о стінку вдаряється велика їх кількість, то можна припустити, що сила діє рівномірно впродовж певного періоду часу.

Отже, зміну імпульсу однієї молекули можна знайти за формулою:

Загальна ж зміна імпульсу становить

, де Z – кількість молекул, що змінили свій імпульс, тобто ті, що вдарилися о стінку.

Обчислимо цю кількість молекул. Для цього обмежимо певну частину газу паралелепіпедом.

Розглянемо період часу Dt. Довжина нижнього ребра така, що молекули, які знаходяться лівіше не встигають долетіти до стінки за цей час. Іншими словами, вони не впливають на тиск у цей проміжок часу. Довжина цього ребра рівна l=v_xDt, де - проекція швидкості молекул на вісь Ох.

Об’єм даного паралелепіпеда є добутком площі замальованої стінки S на довжину ребра l:

Загальна кількість молекул у даному об’ємі легко виразити через концентрацію n:

За імовірністю лише половина молекул буде летіти в напрямі стінки. Отже:

Вираз для зміни імпульсу набуває такого вигляду:

Отже,

А звідси:

З тих самих міркувань отримаємо такі вирази для інших стінок:

Додавши ці рівності і розділивши на три ліву і праву частини отримаємо:

Вираз у дужках можна замінити на середній квадрат швидкості молекул, тобто:

Виведене рівняння називають основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів. Воно є дійсно важливим. Адже саме це рівняння встановлює зв'язок між мікро- і макросвітом. Адже в лівій частині цього виразу величина макроскопічна, тобто вимірювана, а в правій – мікроскопічні величини, які характеризують кожну газ із молекулярної точки зору.

Це рівняння можна дещо перетворити відносно початкового вигляду. Зокрема поділивши і помноживши праву частину рівняння на 2 і замінивши концентрацію, отримаємо: