Отримання знань

Матриці

Основні означення

Означення 1.

Нехай m, n – натуральні числа. Розглядатимемо всі впорядковані пари натуральних чисел (i, j) таких що 1≤i≤m, 1≤j≤n. Кожній парі поставимо у відповідність деяке дійсне число, яке позначимо через a_ij. Сукупність усіх a_ij називається матрицею і позначається як A_mn. Числа a_ij називатимемо елементами матриці, пару чисел m і n - розмірами.

Приклад 1.

m=3, n=2

a₁₁=8, a₁₂= -1, a₂₁=2, a₂₂=4, a₃₁=6, a₃₂=5

Будь-яка матриця розмірами m на n містить рівно m•n елементів. Тому зручно записувати матрицю як прямокутну таблицю, в якій m рядків і n стовпчиків. Тоді кожен з елементів a_ij знаходиться у своїй комірці, в якої i – номер рядка, а j – номер стовпчика.

Матриця з прикладу 1 записується так:

Нагадаємо, що шкільною алгоритмічною мовою прямокутна таблиця A_mn описується як

Дійс Таб А[1..m, 1..n]

Контрольне запитання.

Які варіанти опису цієї таблиці мовою Паскаль є правильними?

Завдання.

Напишіть процедури введення матриці з файлу та виведення у файл.

Означення 2.

Матриця називається квадратною, якщо в ній кількість рядків дорівнює кількості стовпчиків. Кількість рядків, що дорівнює  кількості стовпчиків, називається порядком квадратної матриці.

Приклад 2.

Квадратна матриця порядку 3

Означення 3.

Елемент квадратної матриці належить головній діагоналі, якщо номер рядка цього елемента дорівнює номеру стовпчика.

Контрольне запитання.

Завдання.

Помножте матрицю з прикладу 1 на 4, а прикладу 2 – на 3.

Завдання.

Напишіть алгоритм множення матриці на число. Перекладіть алгоритм мовою Паскаль і перевірте його в on-line.  

Додавання матриць.

Означення 6.

Сумою матриць A і B називається матриця C, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць A і B, тобто c_ij=a_ij+b_ij. Додавати можна тільки матриці, які мають однаковий розмір. Сума матриць має такий же розмір, як і доданки.

Приклад 3.

Нехай

Тоді

Властивості операцій додавання матриць та множення на число

(A,B,C – матриці, k,l – числа).

1. A(kl)=(Ak)l

2. A+B=B+A

3. (A+B)+C=A+(B+C)

4. A(k+l)=Ak+Al

5. (A+B)k=Ak+Bk

Завдання.

Напишіть алгоритм додавання матриць. Перекладіть алгоритм мовою Паскаль і перевірте його в on-line.  

 

Транспонування матриці.

Означення 7.

Матриця А^т є транспонованою щодо матриці А, якщо стовпці А^т є рядками матриці А.

Приклад 4.

Нехай

Тоді

Властивості транспонування.

1. (A^T)^T=A

2. (Ak)^T=kA^T

3. (A+B)^T=A^T+B^T

Завдання.

Напишіть алгоритм  транспонування матриці.Перекладіть алгоритм мовою Паскаль і перевірте його в on-line.  

 

 

Множення матриць.

Означення 8.

Добутком матриць A_mn i B_nl є матриця C_ml , кожний елемент якої визначається формулою

Отже, матрицю А можна помножити на матрицю В тільки якщо кількість стовпчиків матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. Добуток містить стільки ж рядків, як А і стільки ж стовпчиків, як і В. Проілюструємо процес множення на прикладі.

Приклад 5.

m=2, n=4, l=3.

Знаходимо C=A•B за означенням.

С₁₁=-1•2+2•1+2•2+1•3=7

С₁₂=-1•-1+2•1+2•0+1•1=4

С₁₃=-1•1+2•2+2•2+1•1=8

С₂₁=3•2+1•1+0•2+2•3=13

С₂₂=3•-1+1•1+0•0+2•1=0

С₂₃=3•1+1•2+0•2+2•1=7

Отже,

 

Властивості множення матриць.

1. (AB)k=(Ak)B=A(Bk)

2. (A+B)C=AC+BC

3. C(A+B)=CA+CB

4. (AB)C=A(BC)

5. (AB)^T=B^TA^T

Множення матриць здійснюється за таким алгоритмом

Алг Множення_матриць (ціл m, n, дійс таб a[1..m,1..n], b[1..n,1..l],c[1..m,1..l])

Арг m, n, l, a, b

Рез c

Поч

Ціл i, j, k

Для i від 1 до m

  пц

  Для j від 1 до l

    пц

    c[i, j]:=0

    Для k від 1 до n

      пц

      c[i, j]:= c[i, j]+a[i,k]*b[k,j]

      кц

    кц

  кц

Кін

Завдання.

Виконайте алгоритм для прикладу 5 і перекладіть його мовою Паскаль. Перевірте його в on-line.

Контрольні запитання.

Чи справедлива рівність АА^Т=А^ТА?

Якщо деяку матрицю А помножити на одиничну матрицю, отримаємо

В якому випадку результатом множення матриць є число (тобто матриця 1*1)?