Отримання знань
дистанційна підтримка освіти школярів
Правило суми
Часто сукупність усіх способів виконання певної дії можна розбити на два або кілька класів. Наприклад, з Донецька до Полтави можна дістатися через Дніпропетровськ, а можна через Харків. Отже, вci шляхи iз Донецька до Полтави розподіляються на два класи: до першого відносяться вci шляхи, які проходять через Дніпропетровськ, до другого - вci шляхи через Харків. Усі цілі числа можна розподілити на три класи залежно від остачі, яку вони дають при діленні на 3: до першого класу відносяться числа, що діляться на 3 (остача 0), до другого - тi, які при діленні на 3 дають в oстачі 1, до третього - тi, що при діленні на 3 дають в остачі 2. На цьому уроці розглядатимемо метод обчислення кількості елементів yciєї сукупності, якщо вiдoмi кількості елементів у кожному класі, на які розбито її. Фактично йдеться про кількість елементів об'єднання двох або кількох множин.
Розглянемо приклад 1.
Нехай з міста А в місто В ведуть 4 шляхи, а з міста В у місто С - три шляхи. Нехай, кpiм того, з міста А в місто D можна потрапити двома шляхами, iз D в С - чотирма (див. мал.). Скількома способами можна дістатися з А в С?
Можливі 2 випадки: шлях із А в С проходить через місто В чи через місто D. У першому випадку є 4*3 = 12 маршрутів, у другому - 2*4 = 8. Додаючи, одержуємо загальну кількість маршрутів: 12 + 8 = 20. У задачі всі варіанти, які розглядалися, були розбиті на два класи, причому кожний варіант входить в один i тільки в один клас. У цьому випадку загальна кількість варіантів дорівнює сумі кількостей варіантів в обох класах.
Це твердження називають правилом суми. Його можна сформулювати так:
Якщо деякий об'єкт А можна вибрати т способами, a інший об'єкт В можна вибрати п способами, причому жоден в способів вибору об'єкта А не збігається з якимось способом вибору об'єкта В, то вибір «або А, або В» (тобто одного з двох об'єктів) можна здійснити т + п способами.
Приклад 2. Четверо учнів Олег, Андрій, Сергій i Володимир беруть участь у легкоатлетичній естафеті 100 + 200 + 400 + 800. Скількома способами їх можна розподілити по етапах так, щоб Олег біг на дистанції, яка довша від дистанції Андрія? |
|
Можливі три випадки: Олег не може бігти на дистанції 100м, інакше не може виконатися умова: Олег має бігти на дистанції, яка довша від дистанції Андрія. Отже, Олег біжить на дистанціях 800 м або 400 м, або 200 м.
У першому випадку (коли Олег біжить 800м) Андрій може вибрати етап трьома способами(400м, 200м або 100 м), Сергій - двома й Володимир - одним , одже за правилом добутку інші учні можуть розподілитися по етапах 3*2*1 = 6 способами.
У другому випадку (коли Олег біжить 400 м) для Андрія є дві можливості (200м або 100м), для Сергія - дві (800м або ту, що не обрав Андрій) i для Володимира - одна (остання дистанція), тобто вибір етапів можна здійснити 2*2*1=4 способами.
У третьому випадку (коли Олег біжить 200м) в Андрія лише одна можливість - етап 100 м, у Сергія - дві можливості (800м або 400м), у Володимира - одна (та, що не обрав Сергій), тобто в цьому випадку етапи можуть бути розподілені числом способів, яке дорівнює 1*2*1=2. Додаючи, одержимо: 6+4+2=12 варіантів.
Відповідь. 12 варіантів.
Приклад 3. 
Скільки можна скласти з цифр 0,1,2,3,4,5 парних чотирицифрових чисел з різними цифрами?
Можливі два випадки: число закінчується або нулем або цифрою, яка відрізняється від нуля.
Розглянемо перший випадок.Кількість парних чотирицифрових чисел з різними цифрами, що закінчуються нулем, за правилом добутку дорівнює 5*4*3=60
(де 5 - кількість способів обрання цифри для тисяч;
4 - кількість способів обрання цифри для сотень, коли цифра для тисячі вже обрана;
3 - кількість способів обрання цифри для десятків, коли цифри для тисячі і сотні вже обрані).
Розглянемо другий випадок, коли чотирицифрове число нулем не закінчується. Оскільки це число має бути парним, то остання цифра може бути 2 або 4 (2 варіанти);
кількість способів обрання цифри для тисяч - 4 (нуль не може бути на початку числа, а цифра 2 або 4 вже обрана для розряду одиниць);
кількість способів обрання цифри для сотень, коли цифри для розряду тисяч і одиниць обрані - 4; і нарешті 3 - кількість способів обрання цифри для десятків, коли цифри для розряду тисяч, сотень і одиниць обрані.
Тобто, шуканих чисел, що не закінчуються нулем, за правилом добутку буде 2*4*4*3 = 96. Всього ж за правилом до додавання 60 + 96 = 156 варіантів.
Відповідь. 156 чисел.
Додатково
Правило додавання використовується, коли жоден із способів вибору об'єкта А не збігається з якимось способом вибору об'єкта В, тобто, якщо жодний варіант не потрапляє відразу в два класи. Якщо такі збіги є, правило додавання втрачає силу, i ми одержуємо т + п - k способів вибору, де k-кількість збігів. Загальне правило додавання сформулюється так:
Кількість способів вибору «А або В» (тобто принаймні одного з двох об'єктів) дорівнює т + п - k, де т - кількість способів вибору А, п - кількість способів вибору В, k - кількість способів вибору А та В.
Приклад 4. У класі кожен учень знає хоча б одну іноземну мову: англійську чи німецьку. 25 учнів знають англійську, 10 учнів-німецьку, а п'ятеро - обидві мови. Скільки учнів у класі? Скільки знають тільки німецьку мову?
У класі 25 + 10 = 35 учнів знають німецьку чи англійську мову. Але п'ятеро з них знають обидві мови, тобто вони ввійшли у число тих, хто знає англійську, i в число тих, хто знає німецьку мову. Іншими словами, ми їx врахували двічі. Тому в класі 25 + 10 - 5 = 30 yчнів. Німецьку мову знають 10 учнів, з яких англійську знають п'ятеро. Виходить, тільки німецьку знають 10-5 = 5 учнів.
Література:
Бродський Я. Статистика, ймовірність, комбінаторика: 7-9 кл./ Я. Бродський, О. Павлов. - К.: Шк.світ, 2007. - 128с.
Урок розроблено Порхун А.О.