Отримання знань

Правило добутку

У таборі «Артек» збиралися проводити першість з футболу. Незадовго до початку змагань до начальника табору прийшов вожатий, який повинен був судити зустрічі, і сказав: «Іван Володимирович! У нас на складі є шорти і майки тільки трьох кольорів: білого, чорного і синього. А команд у нас вісім. Як бути?»

- «Та зовсім просто! - відповів той.- Адже необов'язково, щоб майка і шорти були одного кольору. Можна одну команду одягнути в сині майки і білі шорти, а іншу - в білі майки і сині шорти. От гравці і побачать, де свій, а де суперник».- «А чи вистачить таких комбінацій на вісім команд?» - «Не лише вистачить, ще одна залишиться на всяк випадок. Ось подивимось на табличку:

Тут перша літера показує колір майки, а друга - колір шортів. Бачиш: вийшло дев'ять різних комбінацій, так що все гаразд».

Складаючи такі таблиці, можна знайти число комбінацій і у разі, коли, наприклад, є майки різних п'яти кольорів, а шорти - чотирьох кольорів. В цьому випадку в таблиці буде п'ять рядків і чотири стовпці, а тому загальне число комбінацій виявиться рівним 5*4, тобто 20. Взагалі, якщо є майки m різних кольорів і шорти n різних кольорів, то загальне число комбінацій для складання форми граючих команд дорівнює m*n.

Можна також скористатися методом, розглянутим на минулому уроці, а саме побудовою графа-дерева:

Отриманий результат вірний і тоді, коли комбінуються не майки з шортами, а, наприклад, ложки з виделками. Він свідчить: Якщо треба вибрати пару об'єктів (А,В), причому першу об'єкт А можна вибрати m способами, а другий об'єкт В - n способами, то пару (А,В) (тобто «А і В») можна вибрати m*n способами.

Буває, що треба вибрати не дві, а три або чотири речі. Тоді число комбінацій шукають схожим чином: дивляться, скількома способами можна вибрати кожну річ, і перемножують отримані числа. Тому правило називають правилом добутку.

Розглянемо наступну ситуацію.

У тому ж дитячому таборі кухар умів готувати чотири різні супи: щі, борщ, молочний суп з локшиною і квасолевий суп. М'ясних блюд він умів готувати п'ять: котлети, зрази, шницелі, битки і суфле. При цьому до кожного м'ясного блюда він умів приготувати три гарніри: гречану кашу, макарони і картопляне пюре. А на солодке він готував теж три блюда: компот, кисіль або печені яблука. Скільки різних обідів умів готувати цей кухар?

Якщо ви зрозуміли правилу добутку, то відповідь знайдете відразу.

Розглянемо інше завдання:

У одному місті були тризначні велосипедні номери. Але велосипедисти попросили, щоб в цих номерах не зустрічалися цифри 0 і 8, тому що перша з них схожа на витягнуте колесо, ну, а що означає для велосипедиста вісімка колеса, знає кожен. Чи вистачить їм номерів, якщо в цьому місті 710 велосипедистів?

       Щоб розв'язати це завдання, складатимемо номери наступним чином. Спочатку виберемо цифру сотень. Оскільки цифри 0 і 8 заборонені, то залишається 8 різних можливостей, а саме 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Стільки ж можливостей і для вибору цифри десятків, і для вибору цифри одиниць. А тоді за правилом добутку отримуємо, що загальне число велосипедних номерів, які можна було видати в цьому місті, рівне 8*8*8, тобто 512. Отже на всіх володарів велосипедів номерів не вистачило. Тому довелося велосипедистам пом'якшити свої побажання. Вони погодилися на цифру «0». Після цього число номерів дорівнювало 9*9*9, тобто 729, і їх вистачило на всіх.

Задача 1.

       З міста А в місто В ведуть чотири шляхи, а з В в С - три шляхи. Скільки шляхів, що проходять через В і ведуть з А в С ?

Задача 2.

Створюються дорожні знаки, що складаються з геометричної фігури (круга, квадрата, трикутника чи шестикутника), однієї з 32 букв i цифри. Скільки таких знаків можна створити?

Приклад. У класі 25 учнів. Учитель викликає двох учнів навмання для відповіді на piзнi запитання. Скількома способами може це зробити?         Першим може бути викликаний будь-який з 25 учнів. Після цього той, хто має відповідати на друге запитання, може бути одним з 24 учнів, які залишилися. Отже, є 25*24 = 600 різних варіантів вибору двох учнів. Відповідь.  600 різних варіантів.

Ця задача відрізняється від попередніх тим, що виклик першого учня скорочує кількість кандидатів на роль другого. Дії, що розглядаються в ній, не є незалежними.

Аналогічно розв'язується наступна задача.

Приклад. У класі 25 учнів. Щодня призначається один черговий. Скількома способами можна скласти розклад на 5 днів так, щоб жоден учень не чергував більше одного разу?

        На перший день ми можемо призначити будь-кого з 25 учнів. Вибрати чергового на другий день можна вже тільки серед 24 учнів. Отже, на перші 2 дні чергових можна призначити 25*24 способами. На третій день є 23 можливості, адже можна призначити будь-кого, крім тих, хто чергував у пepші два дні. Міркуючи аналогічно, одержимо, що загальна кількість варіантів призначення чергових дорівнює 25*24*23*22*21 = 6375 600 .

Відповідь. 6375600 варіантів розкладу.

Література

     1. Бродський Я. Статистика, ймовірність, комбінаторика: 7-9 кл./ Я. Бродський, О. Павлов. - К.: Шк.світ, 2007. - 128с.

    2. Непман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989. - 287с.