Отримання знань
дистанційна підтримка освіти школярів
Обчислення об’ємів тіл обертання (циліндра, конуса)
за допомогою визначеного інтегралу
Скористаємося формулою обчислення об’ємів тіл обертання , яка доводиться у курсі математичного аналізу.
Розв’яжемо декілька задач.
Задача 1. Довести, що об’єм циліндра обчислюється за формулою , де
– радіус основи,
– висота циліндра.
Розв’язання.
Розташуємо циліндр в декартовій системі координат так, як зображено на малюнку: ,
.
Циліндр отримано шляхом обертання прямокутника навколо осі
. Оскільки
, то пряма
задається рівнянням
.
Тоді
.
Задача 2. Довести, що об’єм конуса обчислюється за формулою .
Розв’язання.
Будемо обертати відрізок навколо осі
(див. мал.). Отримаємо конус, у якого
,
.
Пряма задається рівнянням
.
Знайдемо кутовий коефіцієнт
, отже
.
Тоді .