Отримання знань

Урок 20. 

Приклади розв'язання нерівностей

Пр.1 Розв'язати нерівність:    

Запишемо праву частину нерівності як степінь числа 0,6:

Оскільки , то при переході від степенів до показників знак нерівності змінюється на протилежний (одержуємо нерівність, рівносильну заданій).

Для розв'язування одержаної квадратної нерівності використаємо графічну ілюстрацію або "метод інтервалів".

Відповідь.

Пр.2 Розв'язати нерівність:    

Оскільки рівносильні перетворення нерівностей виконуються на ОДЗ початкової нерівності, то зафіксуємо цю ОДЗ :

Використовуючи властивості степенів отримаємо:

Нехай

Отримаємо нерівність яка рівносильна нерівності

В одержаній нерівності знаменник додатний, тому цю дробову нерівність можна звести до рівносильної їй квадратної:  Звідки

Враховуючи, що маємо

Повертаючись до заміни, отримаємо:   Тоді

Функція є зростаючою, отже, Враховуючи ОДЗ, одержуємо

Відповідь.

Пр.3 Розв'язати нерівність:   

Задану нерівність можна розв'язувати або зведенням до алгебраїчної нерівності, або методом інтервалів. Для розв'язування її методом інтервалів використаємо схему, наведену на попередньому уроці.

Розв'яжемо нерівність методом інтервалів. Позначимо

1. ОДЗ:

2. Нулі функції:

  ділимо на  

Заміна   Отримуємо:

Повертаючись до заміни, отримуємо:    та 

Звідки знаходимо   або 

При знаходженні нулів функції зведемо всі степені до двох основ (2 і 3), щоб одержати однорідне рівняння. Це рівняння розв'язується діленням обох частин на найвищий степінь одного з видів змінних.

3. Відмічаємо нулі функції на ОДЗ, знаходимо знак   у кожному з одержаних проміжків і записуємо розв'язки нерівності 

Відповідь.

Пр.4 Розв'язати нерівність:    

Задану нестрогу нерівність зручно теж розв'язувати методом інтервалів. Записуючи відповідь, слід враховувати, що у випадку, коли ми розв'язуємо нестрогу нерівність  усі нулі функції   повинні ввійти до відповіді.

Позначимо

1. ОДЗ: Тоді  або

2. Нулі функції:

 Тоді або  .

З першого рівняння: - не входить до ОДЗ, а з другого:

3. Позначимо нулі на ОДЗ, знаходимо знак у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ, і записуємо розв'язки нерівності 

Відповідь.