Отримання знань

Властивості формули бінома Ньютона

Нагадаємо формулу бінома Ньютона

1. Врахуємо, що в правій частині цієї формули міститься n+1 член, оскільки розклад включає всі степені b від 0 до n.

2. Показник степеня а послідовно зменшується на 1, а b - збільшується на 1. Внаслідок  цього сума показників степенів а  і  b в кожному члені розкладу стала і дорівнює показнику степеня бінома n.

3. Позначимо k-ий член розкладу через T_k. Врахуємо, що

зробимо висновок

Отже, краще запам'ятовувати формулу k+1 члена розкладу

Остання формула має назву формули загального члена розкладу степеня бінома.

4. Як ми же дізналися, розглядаючи конкретний приклад обчислення розкладу, коефіцієнти членів, рівновіддалених від початку і кінця розкладу, рівні між собою. Чому?

5.  Сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2ⁿ.

Подумаємо, як із формули бінома Ньютона  вивести цю властивість. У правій частині ми можемо отримати суму коефіцієнтів (біноміальних) тоді, коли покладемо a=b=1, отримаємо

6. Ще однієї властивістю, що стосується біноміальних коефіцієнтів, буде така:

Сума коефіцієнтів парних членів розкладу дорівнює сумі коефіцієнтів непарних членів розкладу, тобто

 ,

причому кожна з цих сум дорівнює 2^n-1.

Що нам необхідно, щоб довести цю властивість. Ми знаємо формулу бінома Ньютона і попередньо розглянуті властивості. Чи допоможе це нам? Перепишемо формулу, яку треба довести у такому вигляді:

Отже, треба довести що сума біноміальних коефіцієнтів, знаки яких чергуються, дорівнює 0. Ви ще не здогадалися, як таку рівність можна довести? Скористаємося методом, яким ми доводили попередню рівність. Знаки коефіцієнтів будуть чергуватися, якщо у формулу бінома Ньютона підставити a=1, b=-1, тоді формула бінома прийме вигляд що і треба було довести.

Як ще довести, що сума парних, як і сума непарних біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2^n-1 ?

Позначимо ці суми через А:

.

За попередньою властивістю сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2ⁿ, тобто

,

звідки кожна з розглядуваних сум дорівнює 2^n-1.