Отримання знань

Геометричне означення ймовірності

Нехай множині випадків, що сприяють події А, відповідає множина на прямій, площині чи у просторі, яку теж позначимо А.

Множині всіх можливих випадків відповідає множина G. Тоді геометричне означення ймовірності має вигляд:

,

де m(A) - міра множини А (довжина відрізка, площа фігури, об'єм тіла)

m(G) - відповідна міра множини G.

Задача 1.

Точку кинуто навмання на відрізок [a; b]. Яка ймовірність того, що вона попаде на відрізок [α; β], де α>a, β<b.

Розв'язання.

,  .

Тоді за геометричним означенням ймовірність дорівнює .

Відповідь. .

Задача 2.

В круг радіуса R навмання кинуто точку. Яка ймовірність того, що вона буде знаходитися в середині вписаного в цей круг правильного трикутника?

Розв'язання.

Відповідь. .

Задача 3.

Між числами -1 і 1 навмання вибирають два числа. Яка ймовірність того, що сума квадратів цих чисел буде не більше одиниці?

Розв'язання.

Нехай це числа х та у, тоді:

Події G відповідає множина чисел:

Події А відповідає множина чисел:

Геометрично це можна показати так:

Тоді

Відповідь.

Задача 4.

Навмання вибираємо числа х і у такі, що    Знайдіть ймовірність того, що .

Розв'язання.

Зобразимо схематично множини А  та G.

Маємо:

Відповідь. .

Задача 5.

Зустрічаються двоє. Час зустрічі з 12⁰⁰ до 13⁰⁰. Той, хто приходить першим, чекає другого α хвилин . Кожен приходить в довільний момент часу. Яка ймовірність того, що вони зустрінуться?

Розв'язання.

Нехай перший прийшов о 12 год х хв,  другий о 12 год у хв. Тоді вони можуть зустрітися, якщо

.

Зобразимо це геометрично:

1)

2) Побудуємо :

Якщо , то

Якщо , то

Наприклад, якщо α=15 хв, то

Відповідь.