Отримання знань

Застосування формул комбінаторики до підрахунку ймовірностей

1. Повторюємо відомі формули з комбінаторики.

1)     Перестановки: Р_n= n !,  ( Z⁺ - множина, що складається з натуральних чисел і нуля).

2)     Розміщення: , , , .

3)     Комбінації: , ,  , .

2. Розв`язуємо задачі.

Задача 1.

Ящик містить n пронумерованих кульок. Навмання виймають одну за одною всі кульки. Знайти ймовірність того, що всі вийняті кульки будуть йти по порядку нумерації.

Розв`язання.

За умовою n = P_n = n!.

Але з усіх можливих варіантів нас влаштовує тільки один, тому

                                      .

Відповідь. .

Задача 2.

З колоди в 36 карт навмання беруть дві карти. Яка ймовірність того, що це будуть два тузи?

Розв`язання.

 Нехай подія А - вийняли два тузи.

В колоді 4 тузи, тому вибрати 2 з 4 можна  способами.

А вибрати дві карти з 36  способами.

.

Відповідь. .

Задача 3.

З букв розрізної азбуки складають слово. Потім букви слова перемішують і навмання беруть одну за одною. Знайти ймовірність того, що буде складене початкове слово, якщо це слово:   1) книга;  2) ананас.

Розв`язання.

 Задача може бути розв`язана декількома способами, розглянемо один із них.

1) n = 5!.

Нас влаштовує лише один варіант, оскільки всі букви різні.

Отже, .

2) n = 6!.

Буква «а» може бути на кожному із трьох місць, тобто кількість можливих варіантів 3!, буква «н» може бути на кожному із двох місць, тобто кількість можливих варіантів 2!. За правилом добутку загальна кількість варіантів 3!2!, буква «с» може бути тільки на одному місці. Отже кількість випадків, що сприяють даній події дорівнює m = 3!2!.

Тому   

Відповідь. .

Задача 4.

Нехай є 5 відрізків, довжини яких 1; 3; 4; 7; 9см. Навмання вибирають три. Знайти ймовірність того, що з них можна скласти трикутник.

Розв`язання.

Можна скласти трикутник - подія А.

Число випадків, що сприяють події А: 1) 4;7;9.

                                                                  2) 3;7;9.

Тобто m = 2.

Число всіх можливих наборів: n =     

Відповідь. .

Задача 5.

N -  чоловік випадковим чином розсаджуються за круглим столом. Знайти ймовірність того, що дві фіксовані особи А і В сидітимуть поруч.

Розв`язання.

А сів де завгодно. Тоді для В залишилося N - 1 місце, з яких умову задовольняє 2.  Тобто n = N - 1,  m = 2.  .

Відповідь. .

Задача 6.

У відрі 10 білих і 5 червоних троянд. Яка ймовірність того, що три навмання взяті троянди виявляться одного кольору?

Розв`язання.

Загальна кількість випадків вибору трьох троянд з 15 дорівнює

 n = .

Кількість випадків, що сприяють даній події ( три одного кольору) дорівнює:

всі білі -  , всі червоні - , тобто .

 .

Відповідь. .

Задача 7.

Всі 20 учнів в класі народились в не високосний рік. Яка ймовірність того, що всі вони народились в різні дні року?

Розв`язання.

Кожен із 20 учнів може мати один день народження в довільний із 365 днів, тому n = 365²⁰. Задовольняти умові буде будь-який набір двадцяти різних днів року, тобто  . Отже .

Відповідь. 0,589.

Задачі для самостійного розв`язування.

Інструкція

Відповіді треба вводити у вигляді десяткових дробів, округлюючи до третього знака після коми: якщо відповіддю є , то вводити потрібно 0,667.

№1. На картках написані натуральні числа від 1 до 15. Навмання виймають дві із них. Яка ймовірність того, що сума чисел, написаних на цих картах дорівнює 10?

№2. Є картки з цифрами 1; 2; 3; 4; 5. Навмання вибираємо три з них. Яка ймовірність того, що вони складуть арифметичну прогресію?

№3. В магазині було 60 кавунів, з яких 50 стиглі. Чоловік вирішив купити собі два. Яка ймовірність того, що вони стиглі?

№4. Номер телефону складається з 5 цифр. Яка ймовірність того, що всі вони різні?

№5. В колоді 52 карти. Навмання гравець отримує 3 карти. Яка ймовірність того, що це будуть трійка, сімка і туз?

№6 В білет іспиту входять 4 питання з 45, що містить програма. Учень вивчив 30 питань. Яка ймовірність того, що він буде знати всі питання білета, який вибирається навмання?