Отримання знань
дистанційна підтримка освіти школярів
Теорема множення ймовірностей залежних подій
Теорема.
Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другої, при умові, що перша подія відбулася, тобто
Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В)
Ця формула має зміст якщо А і В - сумісні.
Наслідок1.
Якщо А і В незалежні, то Р(А/В) = Р(А) а Р(В/А) = Р(В) і тому
Р(АВ) = Р(А) Р(В).
Наслідок 2.
Для трьох подій: Р( А1 А2 А3) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/А1А2)
Доведіть самостійно.
Наслідок 3.
Для n подій: Р(А1 А2 ...Аn ) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2)...P(An/A1A2...An).
Для доведення можна скористатись методом математичної індукції.
Задача 1.
В урні 10 білих і 5 чорних кульок. З урни одну за одною беруть дві кульки. Яка ймовірність того, що другою буде витягнута біла кулька?
Розв`язання.
Нехай В1 - першою з урни витягнули білу кульку;
В2 - першою з урни витягнули чорну кульку;
А - друга витягнута кулька - біла.
Для події В1 з 15 можливих подій сприятливими є 10, тобто
.
Для події В2 з 15 можливих подій сприятливими є 5, тобто
.
Для події А за умови, що подія В1 відбулася, з 14 можливих подій що залишились, сприятливими є 9, тобто
.
Для події А за умови, що подія В2 відбулася, з 14 можливих подій що залишились сприятливими є 10, тобто
.
Отже: 
.
Відповідь. 
.
Задача 2.
На співбесіду прийшло 10 чоловік. Троє із них некваліфіковані робітники. Представник фірми запр осив у кабінет двоє робітників. Знайти ймовірність того, що вони обидва: а)некваліфіковані; б) кваліфіковані.
Розв`язання.
а) Нехай подія А - перший, що зайшов, некваліфікований,
подія В - другий некваліфікований.
Події А та В залежні, тому 
; 
.
За теоремою множення ймовірностей залежних подій:
.
б) Нехай подія А - перший робітник, що ввійшов виявився кваліфікований,
подія В - другий кваліфікований.
; 
.
.
Відповідь. а) 
; б) 
.
Задача 3.
На семимісну лаву сідають 7 осіб. Яка ймовірність того, що дві певні особи сядуть поруч?
Розв`язання.
Перший спосіб.
Подія А - дві певні особи сіли поруч.
Ймовірність того, що певна особа займе одне місце із 7 дорівнює 
.
Ймовірність того, що друга особа займе місце поруч (одне із шести, що залишились) дорівнює 
. За теоремою множення маємо 
. Але особи можуть помінятися місцями, тоді ймовірність розміщення поруч на двох даних місцях дорівнює 
.
На лаві існує 6 пар місць, на які можуть сісти дві дані особи. За теоремою додавання знайдену ймовірність додаємо 6 разів:
Другий спосіб.
Використаємо формулу: 
.
Загальна кількість рівноможливих способів розмістити 7 осіб на семи місцях дорівнює числу перестановок із семи елементів n = 7!
Дві певні особи можна розмістити поруч 2! способами. Кількість рівно можливих способів розміщення пари двох певних осіб, що сидять поруч, і 5 інших осіб дорівнює числу перестановок із 6-ти елементів і дорівнює 6!
Застосовуючи правило добутку, маємо: m = 2! 6!
Отже 
.
Відповідь. 
.
Задача 4.
Шість карток розрізної азбуки складають слово „ракета". Картки перемішуються, а потім по одній розкладаються зліва на право. Яка ймовірність того, що знову буде складено слово „ракета"?
Розв`язання.
Перший спосіб.
Розглянемо наступні події:
А - знов складено слово „ракета"; Аі - на і-тому місці стоїть необхідна літера. Тоді 
Другий спосіб.
Задачу можна розв`язати з допомогою класичного означення ймовірності і раніше ми це робили. В даному випадку маємо: 
Відповідь. 
.
Задача 5.
Дядько Федір після великого прання розвісив у повному безладі на мотузочці у дворі 5 трусиків і 10 маєчок. Корова Мурка і теля Гаврюша вирішили перевірити смакові якості згаданих текстильних виробів і навмання обрали собі по одному об`єкту для перевірки. Яка ймовірність того, що спочатку Мурка покуштувала Маєчку, а потім Гаврюша - трусики?
Розв`язання.
Нехай подія А - Мурка покуштувала Маєчку, подія В - Гаврюша покуштував трусики. Тоді подія, що задовольняє умову задачі є добутком даних подій, маємо: 
.
Відповідь. 
.
Задача 6.
Абонент забув останню цифру номера телефона і набирає її намання. Знайти ймовірність того, що йму доведеться дзвонити не більше, ніж в 4 місця.
Розв`язання.
Нехай подія А - абоненту довелось дзвонити не більш ніж в 4 місця;
Аі - абонент невірно набрав цифру при і-тому наборі; і = 1,2,3,4.
Тоді 
. Оскільки цифр 10, вірна з них одна, і абонент не буде двічі набирати невірну цифру, то
А тоді 
Відповідь. 0,4.
Задача 7.
З п`яти гвинтівок, з яких три снайперські і дві звичайні, навмання вибирається одна, і з неї робиться постріл. Знайти ймовірність влучення, якщо ймовірність влучити зі снайперської гвинтівки дорівнює 0,95, а з звичайної - 0,7.
Розв`язання.
Нехай подія А - постріл влучний;
подія В - вибрано снайперську гвинтівку;
подія С - вибрано звичайну гвинтівку.
Тоді 
.
Відповідь. 0,85.
Задача 8.
N гостей виходять з квартири і, маючи однаковий розмір взуття ,одягають його в темряві. Знайдіть ймовірність наступних подій:
1) А - кожен гість одягне своє взуття;
2) В - кожен гість одягне взуття, що відноситься до однієї пари (можливо і не своє).
Кожен гість може відрізнити лівий черевик від правого навіть у темряві.
Розв`язання.
Гості беруть черевики по черзі. Серед 2N черевиків N лівих і N правих.
Позначимо через Сі подію, яка полягає в тому, що і-тий гість взяв свою ліву калошу, а через Dі - взяв свою праву калошу.
Тоді:
Відповідь. 
.
Задачі для самостійного розв`язування.
Відповідь. 
; 
.
. У Пєчкіна є 4 капелюхи, і він підкинув по черзі всі. Яка ймовірність того, що лише через три з них можна буде проціджувати локшину?