Отримання знань

Послідовність та її границя.

Єдність границі. Обмеженість збіжної послідовності

Якщо вказано правило, за яким кожному натуральному числу n відповідає певне число , то кажуть, що задана послідовність 

  (1)

Числа називаються членами послідовності. Енний член , з якого можна отримати будь-який член послідовності при , ... , називається загальним  членом.

Отже, послідовність - це функція, задана на множині натуральних чисел.

Приклади послідовностей:

1.        (2)

2.      (3)

3.       (4)

4.       (5)

(5) показує, що члени послідовності можуть бути однаковими.

Якщо із послідовності (1) виділити нескінченну множину членів, зберігаючи порядок їх слідування, то отримаємо деяку послідовність

   де 

яку називають підпослідовністю даної послідовності.

Приклад. Послідовності -1; -1; -1; ... та 1; 1; 1; ... є підпослідовностями послідовності (5).

Означення. Послідовність називається обмеженою, якщо існує число що для всіх виконується нерівність

Зобразимо елементи послідовності (2) та (3) на числовій прямій.

(2):

Точки наближаються до нуля.

(3): 

Точки наближаються до одиниці.

Видно, що члени послідовності (2) скупчуються біля нуля справа, а члени послідовності (3) скупчуються біля одиниці з обох сторін.

Спільна властивість цих послідовностей в тому, що відстані

 та

можуть стати як завгодно малими. У цих випадках число 0 та число 1 називають границями послідовностей (2) та (3) відповідно.

Абстрагуючись від цих конкретних прикладів, природно приходимо до поняття границі послідовності .

Означення. Число a називають границею послідовності якщо для довільного знайдеться номер такий, що нерівність

(6)

виконується для всіх , і записують цей факт так:

Зауваження:

1)   Якщо в послідовності всі числа однакові (сталі), то

Висновок: границя сталої сама стала.

2)   Модуль в означенні використано для того, щоб охопити всі можливі випадки прямування до границі . Для нас байдуже, чи це прямування здійснюється справа (як у прикладі 2), чи з обох сторін (як у прикладі 3), чи зліва, а важливо лише те, про що говориться в означенні - віддаль між точками  та числом   повинна прямувати до нуля, тобто ставати як завгодно малою.

3)   Номер - це значення номера , після якого виконується нерівність (6) , однак слід пам'ятати, що коли (6) виконується для деякого , то ця ж нерівність буде виконуватись для кожного Номер залежить від  і зі зменшенням зростає

Із заданням     визначається не однозначно. Саме тому означення не вимагає, щоб для заданого ε вказувати найменше із можливих значень .

З геометричної точки зору - границя послідовності чисел , якщо в довільному околі точки містяться майже всі члени розглядуваної послідовності. Слово "майже" означає, що поза -околом точки може бути хіба що скінчена множина членів послідовності.

4)   Якщо послідовність (1) має своєю границею число , то цю ж саму границю мають всі її підпослідовності. Це випливає з геометричного тлумачення.

Послідовність, яка має своєю границею певне число, називають збіжною до цього числа. У протилежному випадку послідовність називається розбіжною.

Приклад. Послідовність (5) розбігається (не має границі), так як її підпослідовності прямують до різних границь:

-1; -1; -1; ... → -1,

1; 1; 1; ... → 1.

Теорема. Якщо послідовність має границю,

то тільки одну.

За умовою . Розглянемо число Задамо -окіл точки , де . За означенням границі поза -околом точки міститься скінчена множина точок, а це означає, що -окіл точки не містить нескінченної множини членів послідовності. Отже, число не може бути границею послідовності .

Теорему доведено.

Теорема. Кожна збіжна послідовність обмежена.

Доведення.

З умови теореми випливає, що послідовність збіжна, тобто існує границя. Отже, для знайдеться таке , що для довільного

Тому 

Візьмемо найбільше з чисел

і позначимо через . Тоді для довільного маємо:  а це означає обмеженість розглядуваної послідовності.

Теорему доведено.

Висновок:

1)    Границя сталої є сама стала.

2)    Модуль в означенні використано для того, щоб охопити всі можливі випадки прямування до границі . Для нас байдуже, чи це прямування здійснюється справа (як у прикладі 2), чи з обох сторін (як у прикладі 3), чи зліва, а важливо лише те, про що говориться в означенні - віддаль між точками та числом повинна прямувати до нуля, тобто ставати як завгодно малою.

3)    Номер - це значення номера , після якого виконується нерівність (6) , однак слід пам'ятати, що коли (6) виконується для деякого , то ця ж нерівність буде виконуватись для кожного Номер   залежить від і зі зменшенням  зростає .

Із заданням    визначається не однозначно. Саме тому означення не вимагає, щоб для заданого вказувати найменше із можливих значень .

З геометричної точки зору границя послідовності чисел , якщо в довільному околі точки містяться майже всі члени розглядуваної послідовності. Слово «майже» означає, що поза -околом точки може бути хіба що скінченна множина членів послідовності.

4)    Якщо послідовність (1) має своєю границею число , то цю ж саму границю мають всі її підпослідовності. Це випливає з геометричного тлумачення.

Означення: Послідовність, яка має своєю границею певне число, називають збіжною до цього числа. У протилежному випадку послідовність називається розбіжною.