Отримання знань

Побудова перерізів

   Якщо хоча б дві точки многогранника знаходяться по різні боки від деякої площини, то ця площина називається січною площиною. А всі спільні точки січної площини та многогранники називаються перерізом.
   Враховуючи умови, які однозначно задають площину, розглянемо перерізи многогранників площинами, що проходять через 3 задані точки, через точку і пряму, а також перерізи, спосіб задання яких містить умову паралельності (заданій площині, заданій прямій або двом заданим прямим).
   У шкільному курсі геометрії розглядаюється три методи побудови перерізів:
       - метод слідів;
       - «внутрішнього проектування»
       - комбінований метод.

    Будуючи перерізи, нам досить часто прийдеться будувати точку перетину прямої і площини. Слід пам’ятати, що для побудови точки перетину прямої з заданою площиною треба в цій площині знайти пряму, що лежить з заданою прямою в якісь іншій одній площині. Якщо задана і знайдена прямі перетинаються, то їх точка перетину шукана.

  Для прикладу розглянемо задачу:
       Задано куб АВСDA₁B₁C₁D₁, точка О належить прямій ВВ₁ так, що В₁О=В₁В=а.
       Побудувати:
          - точку перетину прямої ОD₁ з площиною АВС – точку Е,
          - точку перетину прямої ОС₁ з площиною АВС – точку F.
      Знайти площу чотирикутника CDEF.

Розв’язування

    Для побудови точки перетину прямої ОD₁, з (АВС) слід знайти пряму, що лежить з ОD₁ в одній площині і паралельна ОD₁. Такою прямою є ВD, причому ВD не паралельно до ОD₁, бо через D₁, проходить В₁D₁║ВD (а через точку можна провести лише одну пряму, паралельну заданій).
    Таким чином, ВD та ОD₁ не паралельні і лежать в одній площині, то вони перетинаються, точка їх перетину і буде шуканою:

     Аналогічно

    Зауваження: якщо дві площини мають дві спільні точки, то пряма, проведена через ці точки, є прямою перетину заданих площин.

    У нащій задачі (АВС) та (ОD₁C₁) мають дві спільні точки Е та F, отже  .
    Інколи кажуть, що пряма ЕF - cлід площини (OD₁C₁) у площині (АВС).

  Повернемось до задачі.
  Потрібно визначити S(CDEF). Встановимо спочатку вид цього чотирикутника.
  За умовою В₁О=ВВ₁=В₁О=а, отже ВО=2ВВ₁, В₁С₁║ВF, тому В₁С₁ – середня лінія ΔОВF, звідси ВF=2а, тому СF=а.
  Аналогічно В₁D₁ – середня лінія ΔОВЕ, тоді DE=BD=B₁D₁=a.
  Але тоді за означенням DC – середня лінія ΔВЕF, тоді ЕF=2DC=2а, DC║EF.
  Таким чином СDEF – трапеція, в якій

   CD=CF=a, EF=2a,
   DE=a, CFDC

  
 
   Відповідь:  3/2a².