Отримання знань
дистанційна підтримка освіти школярів
Розміщення з повтореннями
Під час розв'язування комбінаторних задач доводиться розглядати скінченні множини, складені з елементів будь-якої природи, та їх підмножини. Залежно від умов задачі розглядаються скінченні множини, в яких істотним є або порядок елементів, або їх склад, або перше і друге одночасно. Такі скінченні множини (вибірки) дістали назву: перестановки, комбінації, розміщення.
Розглянемо кожний вид окремо.
Нехай дано множину {а1,...,аn}, що складається з n різних елементів. Вибіркою довжини k називатимемо множину {аi1,...,аik}, яка містить k елементів попередньої. Елементи вибірки можуть бути як різними, так і однаковими (наприклад, можна розглянути вибірку виду {аi1,...,аi1}).
Вибірки, у яких елементи можуть бути однаковими і порядок їх розташування є суттєвим (тобто вибірки будуть різними, навіть якщо вони відрізняються тільки порядком розташування в них елементів) називаються розміщеннями з повтореннями. Такі вибірки позначатимемо (аi1,...,аik).
З цього означення виділимо такі характеристичні ознаки розміщень з повтореннями:
1) елементи можуть бути однаковими;
2) порядок елементів важливий.
Кількість розміщень з повтореннями з п елементів по k елементів позначають через 
, і обчислюють за формулою 
.
Це випливає із узагальненого правила добутку: на першому місці може бути будь-який із n даних елементів, на другому - також будь-який із n даних елементів, ..., на k-му місці - також будь-який із n даних елементів.
Задача 1.
Скільки чотирилітерних "слів" можна скласти з літер "М" і "А"? Випишіть ці слова і перевірте отриманий результат. |
Складемо декілька таких "слів": МММА, МАМА, МААА ... Бачимо, що склад вибірки змінюється, порядок елементів у вибірці істотний. Значить, це - розміщення з повтореннями з 2 літер "М" і "А" по 4:
Випишемо всі ці 16 «слів»:
ММММ, МММА, ММАМ, МАММ, АМММ, ММАА, МАМА, АММА, АМАМ, ААММ, МААМ, АМАА, ААМА, АААМ, МААА, АААА.
Відповідь. 16.
Задача 2.
Вздовж дороги розташовані 6 світлофорів, кожен з яких має 3 стани: "червоний", "жовтий", "зелений". Скільки може бути різних ситуацій на дорозі, що спричинені станами цих світлофорів? |
Випишемо декілька комбінацій: ЧЧЖЗЗЧ, ЖЖЖЖЖЖ, ЗЖЖЗЧЧ... Ми бачимо, що склад вибірки змінюється і порядок елементів істотний (адже якщо, наприклад, у вибірці ЧЧЖЗЗЧ поміняти місцями Ж і З, ситуація на дорозі буде іншою). Тому застосовуємо формулу розміщень з повтореннями з 3 по 6: 
.
Відповідь. 729.
Задача 3.
15 занумерованих більярдних куль розмістили у 6 луз. Скількома способами це можна зробити? |
Поставимо у відповідність кожному числу від 1 до 15 номер лузи, у якій знаходиться куля. Одержимо впорядковану вибірку довжиною 15, яка складається із чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 (номер відповідної лузи). Кількість таких вибірок дорівнює 
.
Відповідь. 615.
4. Скількома способами кур'єрською поштою можна надіслати 6 листів, якщо для цього задіяти трьох кур'єрів і кожного листа можна дати кожному з них?
5. Четверо студентів складають екзамен. Скільки є способів отримання оцінок, коли відомо, що всі отримали позитивні оцінки? Позитивною є оцінка від 7 до 12.
6. Шість ящиків з будівельними матеріалами доставляються на п'ять поверхів будівлі. Скількома способами можна розподілити ящики по поверхах будівлі?