Отримання знань
дистанційна підтримка освіти школярів
Трикутник Паскаля
Використовуючи властивості комбінацій, складемо таблицю чисел 
:
n | k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
0 | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| |
1 | 1 | 1 |
|
|
|
|
|
|
| |
2 | 1 | 2 | 1 |
|
|
|
|
|
| |
3 | 1 | 3 | 3 | 1 |
|
|
|
|
| |
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
|
|
|
| |
5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
|
|
| |
6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
|
| |
7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
| |
8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | |
Ця таблиця дістала назву трикутника Паскаля. Вона має таку закономірність утворення: числа лівого стовпчика позначають номери рядка, числа верхнього рядка - номери стовпчиків, решта чисел у таблиці - кількість відповідних комбінацій. Наприклад, числа п'ятого рядка 1, 5, 10, 10, 5, 1 означають 
.
Кожний рядок починається з одиниці і закінчується одиницею (Чому?). Число міститься на перетині n-го рядка і k-го стовпця. Наприклад, 
. Якщо сьомий рядок написаний, то для написання восьмого рядка слід на першому місці записати "1", а на другому - суму двох перших чисел сьомого рядка 1+7=8, на третьому - суму двох наступних чисел сьомого рядка 7+21=28 і так далі. Тут застосовується одна з властивостей обчислення кількості комбінацій, а саме: 
.
Трикутник Паскаля має такі властивості:
1. Числа одного рядка, розміщені на однаковій відстані від кінців цього рядка, рівні між собою, бо .
2. Сума чисел n-го рядка дорівнює 
, де n набуває значення 0, 1, 2, ..., тобто 
. Доведення цього факту розглянемо пізніше. А поки застосуємо його для сьомого рядка таблиці. Матимемо
.3. Сума чисел будь-якого рядка в два рази більша від суми чисел попереднього рядка, тобто 
.
Ця властивість безпосередньо випливає з попередньої, адже,
4. Для парного n, тобто n=2k числа відповідного n-го рядка зростають до найбільшого члена з номером k+1. Для непарного n=2k+1 цей рядок містить два найбільших члени: k-й і (k+1)-й.
Трикутник Паскаля часто записують у вигляді рівнобедреного трикутника:
Розглянемо приклад.
Запишемо розклад степеня 
.
. Отже, знаки розкладу будуть чергуватися. За допомогою восьмого рядка 1 8 28 56 70 56 28 8 1
трикутника Паскаля дістанемо
.