Отримання знань
дистанційна підтримка освіти школярів
Трикутник Паскаля на практиці (продовження)
Повернемося до задачі про туру. Нагадаємо умову:
| Чому дорівнює кількість найкоротших шляхів, по яких тура може перейти з одного кутового поля на шахівниці в інше, діагонально протилежне? (Тура рухається лише по горизонталі і вертикалі.) |
Ця задача легко розв'язується, якщо кожному полю на шахівниці приписати по числу так само, як Сьюзен приписувала числа перехрестям на карті міста. Тура ходить лише по горизонталі і вертикалі. Отже, найкоротший шлях з будь-якої клітини в будь-яку іншу полягає в подоланні відстані, що розділяє клітинки, по горизонталі і по вертикалі. Якщо числа розставлені вірно (див. мал. 2), то вони вказують кількість найкоротших шляхів, що ведуть з| нижнього кута в будь-яке поле.
Наприклад, поле в правому верхньому кутку позначене числом 3432. Отже, тура може перейти з поля, що розташоване у лівому нижньому кутку дошки на діагонально протилежне поле 3432 найкоротшими шляхами.
Розрізавши шахівницю по діагоналі і повернувши одну половину, отримаємо трикутник, зображений на малюнку. Числа, що стоять в клітинках будь-якого ряду, вказують кількість найкоротших шляхів, що ведуть до них з самої верхньої клітинки. Розставлені у клітинках числа утворюють знаменитий арифметичний трикутник Паскаля, і це не дивно: алгоритм для підрахунку числа найкоротших шляхів, що ведуть від вершини, в точності збігається з процедурою побудови трикутника Паскаля.
Відмітимо, що на малюнку справа кількість найкоротших шляхів, що ведуть з вершини трикутника в найлівішу або найправішу клітку нижнього ряду, дорівнює 1, а при наближенні до середини ряду кількість найкоротших шляхів зростає.
Це не єдине практичне застосування трикутника Паскаля.
Кожен з нас бачив ігрові автомати, дія яких заснована на властивостях трикутника Паскаля. У чому ж вона полягає? Випускається на волю кулька, яка під дією сили тяжіння або натиснення пружини рухається по дошці, на якій встановлені перешкоди. Від кожної перешкоди кулька може відскочити куди завгодно. Одержуючи декілька десятків таких випадкових зіткнень, кулька досягає днища ящика і заспокоюється в якомусь положенні. Залежно від форми перешкод і від того, як вони встановлені, різні положення днища ящика будуть досяжні в різній мірі. У найпростішій своїй формі ігровий автомат схожий на так звану дошку Гамільтона, у якій в шаховому порядку вбиті кілочки, кульки скачуються і скупчуються у відсіках під кілочками нижнього ряду.
 |
Дошка Гамільтона Технічний музей Вени |
Виявляється, розподіл кульок має форму дзвоноподібної кривої, а кількість кульок в кожному відсіку пропорційно відповідному біноміальному коефіцієнту, тому що кількість найкоротших шляхів, що ведуть у кожен відсік, в точності збігається з визначеним біноміальним коэффициентом. От і трикутник Паскаля!
Фото "Дошки Гамільтона" взято з сторінки сайту "До востребования" Technisches Museum Wien - Наука // http://uncle-vasya.narod.ru/photo/tmw/index1.html