Отримання знань

Вступ до теорії ймовірностей. Випадкові події

Зверніть увагу на те, що особливістю математики, яку вони вивчали до цього часу, була визначеність даних і, здебільшого, однозначність результатів, знайдених під час розв'язування задач. Наприклад, числове значення об'єму куба V цілком визначається довжиною ребра. Значення миттєвої швидкості нерівномірного руху задається рівнянням руху (законом руху)    і значенням часу  , в якому визначається миттєва швидкість . Проте у житті, науці, техніці доводиться мати справу з подіями реального світу, які залежать від невідомих або таких обставин, що не піддаються обліку. Наприклад, не можна передбачити

• скільки зернин дасть колос, який проросте з висіяної зернини,
• скільки грибів виросте на певній ділянці лісу, де в минулому році росли гриби,
• скільки випускників загальноосвітніх шкіл України витримають вступні іспити до вищих навчальних закладів.

Такі явища дістали назву випадкових, а теорія ймовірності вивчає такі явища.

На цьому цроці навчимося розрізняти випадкові і невипадкові(детерміновані) явища.

Наприклад, кидаємо гральний кубик. «Випала непарна кількість очок», «випало 6 очок» - це випадкові явища.

При розгляді конкретної задачі ми проводимо деяке випробування (дослід). Результатом такого випробування буде подія. Наприклад, кидаємо гральний кубик. Випробуванням буде - кидання одного грального кубика. Результатом випробування є те, якою стороною цей кубик впав. Зазвичай важливою при цьому є кількість очок, що міститься на верхній грані кубика. Наприклад, при підкиданні кубика на верхній грані видало 5 очок. Подією, що сталася  в цьому випадку, буде така - «випало 5 очок». Підкинемо кубик ще раз. Кубик впав і на верхній грані 2 очки. Відбулася подія - «випало 2 очки». Що можна сказати про подію «випало 5 очок», при другому випробуванні вона не відбулася. Таке випробування можна проводити багато разів, кожного разу відмічаючи, яка подія відбувалася.

Що можна сказати про розглянуті випробування? Якою буде подія «випало 5 очок»: випадковою чи детермінованою? Звісно випадковою, бо заздалегідь не відомо, станеться вона при наступному випробуванні чи ні.

Перш ніж сформулювати означення випадкової події, розберемо наступні факти.

Надалі будемо розглядати лише випробування, які можна провести багато разів. Так, можна багато разів купувати лотерейний білет, багато разів підкидати гральний кубик, багато разів витягати кулі зі скриньки, стріляти по мішені. Проте до таких випробувань не можна віднести війну між двома державами. Навряд чи вона буде відбуватися багато разів. Багато разів не можна повторити запуск космічного корабля: це надто дорогий захід. Ці випробування не можна відносити до випадкових.

Також важливою умовою проведення випробувань є те, що вони проходять в однакових умовах. Не змінюється центр мас кубика при повторних його підкиданнях. В одній і тій самій лотереї заздалегідь визначена кількість виграшів, і вона не змінюється у ході реалізації білетів до проведення тиражу. По мішені стріляє той самий спортсмен із тієї самої зброї, причому вона не ламається, положення мішені при цьому також не змінюється: мішень не віддалюється і не наближається, що давало б можливість змінити число влучних пострілів.

На противагу цьому повторні футбольні матчі між двома командами можуть проходити у різних умовах: може змінитися ступінь готовності команди до гри, погодні умови, стан футбольного поля тощо. Змінюються умови, при яких той самий учень  пише контрольні роботи з математики протягом навчального року: може змінитися складність завдань, їх кількість, готовність учня до виконання контрольної роботи. Останні два випробування не відносяться до випадкових.

Третьою умовою є те, що наслідки випробувань мають бути неоднозначними. Так, купуючи лотерейний білет, заздалегідь не знають, чи випаде на нього виграш, чи не випаде, а якщо випаде, то який. Однак є такі випробування, наслідки яких заздалегідь відомі. Так, заздалегідь відомо, що: коли нагрівають при звичайних умовах воду, то при 100⁰С вона кипить; на зміну дню приходить ніч; після літа настає осінь; під час ходьби здорова людина після кроку лівою ногою обов'язково робить крок правою. Нагрівання води, зміну дня і ночі, ходьбу не вважають випадковими подіями.

Висновок: тільки наявність усіх трьох умов робить випробування випадковим.

Випадкові події є наслідками випадкових випробувань, тобто таких дій, які можна повторити багаторазово, приблизно в однакових умовах, і результати яких не можна передбачити однозначно.

Розглянемо приклади:

1)  купівля лотерейного білета - це випадковий дослід, отримання виграшу на куплений лотерейний білет - випадкова подія;

2) рух автомобіля - випадковий дослід, автомобіль потрапив у аварію - випадкова подія;

3) дзвінок по телефону - випадковий дослід, лінія виявилася вільною - випадкова подія.

Задача 1.

Які з наведених випробувань будуть випадковими експериментами?

1) Не є випадковим експериментом. З фізики відомо, що під час охолодження води при нормальному тиску до 0 °С вона перетворюється у лід. Наслідок випробування не є неоднозначним.

2) Так; є випадковим експериментом  - його можна повторити багаторазово, за однакових умов і наперед не можна передбачити, яку саме карту витягнеш з колоди

3) Так, є випадковим експериментом  - виконуються всі його умови.

4) Ні; з хімії відомо, що при змішуванні сульфату натрію і хлориду барію завжди випадає осад. Отже, наслідок випробування завжди однаковий.

5) Так.

6) Ні. Спитайте у вчительки хімії, що при цьому відбувається.

Кінець

Задача 2.

Гральний кубик підкидається один раз. Вкажіть всі наслідки випробування, якщо нас цікавить:

1) число, що випало на верхній грані кубика;

2) парність числа, що випало на верхній грані кубика;

3) складеність числа, що випало на верхній грані кубика;

4) кратність числа, що випало на верхній грані кубика, числу 3;

5) поява на верхній грані кубика числа, не більшого за 4;

6) поява на верхній грані кубика числа, не меншого за 1.

Розв'язання.

Наслідки випробування запишемо у вигляді множини.

1) {1, 2, 3, 4, 5, 6};

2) {парне, непарне};

3) {1, {2, 3, 5}, {4, 6}} або  {1, просте, складене};

4) {{3, 6}, {1, 2, 4, 5}} або {ділиться на 3, не ділиться на 3};

5) {{1, 2, 3, 4}, {5, 6}} або {менше або дорівнює 4, більше за 4};

6) {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Задача 3.

На десяти жетонах вибито числа від 1 до 10. Навмання виймається один жетон. У яких відповідях вказано всі можливі на­слідки випробування:

Для того, щоб побачити короткі пояснення, виділіть блок між словами «Початок» і «Кінець» або натисніть Ctrl+A.

Початок

Кінець

Задача 4.

Вкажіть кількість наслідків експерименту:

а) з мішечка для гри в лото виймається одна бочечка з номером;

б) навмання витягується одна кость доміно з повного набору;

в) з нового відривного календаря на 2009 р. навмання виривається листок;

г) картки з написаними на них буквами П, О, Д, І, Я перемішують, навмання розкладають у ряд і фіксують слово, що утворилося;

д) з 30 учнів класу навмання обирають чотирьох для чергування у їдальні;

ж) з 10 карток, на яких записано цифри, навмання одна за одною виймають 3 картки і фіксують утворене число;

з) картки з написаними на них буквами Е, Л, Е, М, Е, Н, Т перемішують, навмання розкладають у ряд і фіксують слово, що утворилося.

   Для того, щоб побачити короткі пояснення пункту з) задачі 4,

виділіть блок між словами «Початок» і «Кінець» або натисніть Ctrl+A.

Початок 

Сім букв можна у певному порядку розкласти в ряд 7! способами, але при цьому однакових варіантів розміщення букв буде стільки, скільки разів три букви Е можна поміняти місцями, тобто 3! варіантів. Тоді кількість наслідків цього експерименту дорівнює 7!/3!.

Кінець