Отримання знань

Класичне означення ймовірності (блок 1)

Задача 1.

Кинули монету один раз. Яким є шанс того, що вона впаде гербом (орлом) угору?

Розв'язання.

Кидання монети є випадковим дослідом (його можна повторити багато разів за однакових умов при  неможливості передбачити результат заздалегідь), тоді випадання герба є випадковою подією.

Скільки може бути варіантів того, що монета ляже вгору гербом чи цифрою, якщо вважати неможливим, що монета стане на ребро?

У монети дві сторони. І якщо вона симетрична, то шанси того, що вона впаде на кожну з них, однакові. Отже, шанси дорівнюють ½, або 50%.

Задача 2.

Підкинули дві монети. Які шанси того, що обидві монети упадуть гербом угору?

Розв'язання. 

Кидання двох монет є випадковим дослідом (його можна повторити багато разів за однакових умов при  неможливості передбачити результат заздалегідь), тоді випадання герба одразу на двох монетах є випадковою подією.

Тут складніше перебрати всі варіанти. Зробимо це, скориставшись таблицею.

Всього існує чотири варіанти. І тільки в одному з них обидві монети упадуть гербом догори. Якщо монети не деформовані і правильні (тобто кожна монета має як гербову сторону, так і цифрову), то в нас немає підстав вважати, що якийсь із цих варіантів має перевагу перед іншими. Іншими ловами, вони мають рівні шанси на здійснення. Ми будемо говорити, що ймовірність того, що  обидві монети упадуть гербом угору, дорівнює ¼ чи 25%.

Ймовірність події є числовою характеристикою, мірою можливості появи випадкової події.

Задача 3.

Підкинули три правильні монети. Якою є ймовірність того, що всі три монети впадуть гербом угору?

Розв'язання.

Підкидання трьох монет є випадковим дослідом, випадання герба на усіх трьох монетах є випадковою подією.

Будемо випадання монет гербом угору позначати буквою Г, а цифрою вгору - буквою Ц. Матимемо таблицю варіантів:

Усього є 8 варіантів. Усі вони мають рівні шанси. І тільки в одному з них усі три монети ляжуть гербом угору. Отже, ймовірність дорівнює 1/8.

Продовжимо ускладнювати задачу.

Задача 4.

Підкинули чотири монети. якою є ймовірність того, що всі чотири монети впадуть гербом угору?

Розв'язання.

Це випадковий дослід, і його результат є випадковою подією. Розглянемо можливі варіанти.

Імовірність того, що всі чотири монети впадуть гербом угору, дорівнює 1/16.

Задача 5.

У чашці два чорних зернятка й одне біле. Навмання дві особи одна за одною витягують по зернятку. Якою є ймовірність того, що:

1) обидві особи витягнуть чорні зернятка;

2) перша особа витягне чорне зернятко, а друга - біле;

3) одна з них витягне чорне зернятко, а друга - біле;

4) обидві витягнуть білі зернятка?

Знову почнемо з перебору можливих варіантів. Буквою «ч» позначимо чорне зернятко, буквою «б» - біле.

Усього існує три можливих варіанти вибору зерняток цими особами. В одному з них обидві витягнуть чорні зернятка, тобто ймовірність цієї події дорівнює 1/3. Також в одному варіанті першій дістанеться чорне зернятко, а другій - біле, тобто ця подія теж відбудеться з імовірністю 1/3. Так само в одному варіанті витягання зерняток першій дістанеться біле, а другій - чорне зернятко, тобто у двох варіантів із трьох одна особа витягне чорне зернятко, а друга - біле. Отже, ймовірність цього дорівнює 2/3. І нарешті, при жодному розподілі зерняток обом не можуть дістатися білі зернятка, тому ймовірність цієї події дорівнює 0.

Повернемося до задачі 1.

Чому дорівнює ймовірність випадання герба при одному підкиданні монети?

Введемо символічний запис , де буква Р є початковою буквою латинського слова  probabilitas - "імовірність".

Задача 6.

Чому дорівнює ймовірність випадання п'яти очок при одному підкиданні грального кубика?

Подайте відповідь у вигляді нескоротного дробу та введіть її чисельник і знаменник відповідно у першу і другу комірки.

Задача 7.

Якою є ймовірність витягнути пікового туза при витягування однієї карти з колоди 36 карт?

Подайте відповідь у вигляді нескоротного дробу та введіть її чисельник і знаменник відповідно у першу і другу комірки.

Задача 8.

Нехай у посудині міститься шість куль. Є 6 можливостей витягти кулю. Розглянемо різні набори куль у посудині.

Нехай у посудині 1 червона і 5 білих куль. Тоді при випадковому виборі кулі є одна можливість витягти червону кулю і 5 - білу, тобто є   всіх можливостей витягти червону кулю    і     - витягти білу.

Якщо в посудині 2 червоні кулі, то є   всіх можливостей витягти червону кул.

Продовжуючи такі міркування до завершального випадку - у посудині 6 червоних куль, - дійдемо висновку, що є  усіх можливостей витягти червону кулю.

Результати міркувань можна подати у вигляді таблиці.

Кількість куль	6	6	6	6	6	6	6
З них  червоних	0	1	2	3	4	5	6
Частка всіх можливостей витягнути червону кулю

Проаналізуємо отримані результати. Виявляється, що відношення кількості червоних куль до загальної кількості куль характеризує можливість успіху у витягування червоної кулі. Чим більше червоних куль у посудині, ти більше можливостей витягти червону кулю, що характеризується більшим дробом. Такі дроби називають ймовірностями витягування червоної кулі.

Аналізуючи розглянуті приклади, можна зробити висновок, що для знаходження ймовірності розглянутої події потрібно з усіх рівно можливих наслідків виділити ті, які сприяють настанню події. Потім імовірність розглянутої події обчислюється за наступним правилом:

.

Що ж таке «сприятливі наслідки»? Кожен наслідок досліду, при якому настає дана подія, називають таким, що сприяє події або сприятливим наслідком.

Таке означення ймовірності називається класичним.

Якщо подію позначити через А,

           кількість усіх рівноможливих наслідків досліду через N,

           кількість рівноможливих наслідків цього досліду, які сприяють події А,  через  N(A),

то формула набирає вигляду:      

    .         (1)

Зверніть увагу на те, що в дослідах, у яких визначається ймовірність події за класичним означенням, припускаються ідеальні умови - гральний кубик має бути ідеальної форми (центр мас збігається з геометричним центром), монету виготовлено з однакового за густиною металу тощо. Чому це суттєво? Наведемо приклад з історії.

Отже, щоб застосовувати формулу (1) для обчислення ймовірності події треба перевірити, чи виконуються всі умови, а саме:

1)    наслідки досліду мають бути рівно можливими;

2)    кількість всіх наслідків є скінченою, тобто такою, що виражається конкретним числом (навіть якщо воно досить велике).