Отримання знань
дистанційна підтримка освіти школярів
Сфера. Куля. Приклади задач
№1. Через середину радіуса кулі проведено перпендикулярну йому площину. Як відноситься площа отриманого перерізу до площі великого круга?
Розв’язання.
На мал. зображено кулю з центром в точці і радіусом
, тоді площа великого круга буде рівною
.
Площину, що проведено через середину радіуса кулі перпендикулярно до нього, зображено на мал. Ця площина є кругом з радіусом, що обчислюється з прямокутного трикутника
Таким чином, відношення площі отриманого перерізу до площі великого круга дорівнює
Відповідь:
№2. Сторони трикутника 13 см,14см,
15 см. Знайти відстань від площини трикутника до центра кулі, яка дотикається усіх сторін трикутника. Радіус кулі 5 см.
Розв'язання.
Нехай трикутник дотикається кулі у точках , тобто ці точки одночасно належать сторонам даного трикутника та сфері. Тоді відрізки
– радіуси кулі.
см.
Опустимо з точки – центра кулі,
перпендикуляр в площину трикутника. Трикутники
,
,
рівні за катетами і гіпотенузою, тому
. З останньої рівності отримуємо, що точка
рівновіддалена від сторін трикутника, що свідчить про те, що ця точка є центром кола, вписаного в даний трикутник.
Обчислимо довжину радіуса кола (), вписаного в трикутник, скориставшись формулою
.
Обчислимо площу трикутника за формулою Герона
,
.
З прямокутного трикутника знайдемо шукану відстань
.
Відповідь: 3см.
Завдання:
№1
На сферу радіуса 15 м накладено ромб так, що кожна його сторона довжиною 20м дотикається до сфери. Відстань від центра сфери до площини ромба 12 м. Обчислити площу ромба.
Відповідь: .
№2.
Довести, що
1) перерізи сфери, рівновіддалені від центра кулі, мають однакові площі і, навпаки,
2) перерізи сфери, що мають однакові площі, рівновіддалені від центра сфери
3) з двох перерізів сфери більший радіус має той переріз, площина якого знаходиться ближче до центра сфери.